数学文化？

　一般に数学、特に現代数学といえば、固く冷たい印象を持たれ、難解で敬遠されがちな学問ということになろうか？　実際には、数学者たちは誰もこの学問を冷たく固いとは感じていないであろう。厳しいながらも興奮の渦が逆巻く研究の中で美しい発見がなされ、今日も数学の研究が進んでいる。しかし、その興奮と感動の「深み」や「広がり」は一様ではなく、背後の「数学文化」と大きくかかわっているように思われる。

　若い（幼い）ときに数学の魅力に憑かれてその道に踏み込み、厳しい修行の末に運よく成果を上げる、つまり、定理を発見・証明する、理論を打ち立てる、という幸運にたどり着くことも有り得る。しかし細分化された各分野の最先端（それを枝葉末節という人もいる）へと先を急ぎ過ぎるのと、同じものを見るのにもより基本的なところから見渡そうと試みるのとでは、数学の理解に大きな差が出る。そこに背景にある「数学文化」が大きく影響してくる。小欄ではその数学文化について考えてみたい。また、そこを主眼に置いた“ENCOUNTERwithMATHEMATICS”という活動について紹介しよう。

数学の問題の答えは一つなのか？

　大学の数学科を志す高校生諸君からしばしば「数学では答えが一つに決まるから迷いがなくて楽しい」と聞くことがある。実際、一般世間でも「数学の問題の答えは一つである」思われている節がある。答がハッキリしているという以上の意味でなければそうかもしれないし、簡単な計算問題ならそうといえよう。入試では、採点のし易さから、なるべく「答（答え方）が一通り」になるように問題を作ろうとする傾向があるが、本来そうでない問題の方が良い問題である場合が多い。例えば、正三角形とはどのような三角形かと問われたら、「３辺の長さが等しい三角形」と「三つの角がみな同じ大きさの三角形」のどちらも十分正解であろう。これらが同値な条件であることが定理であるからだ。また、グラフが直線となる関数は？　と問われ、２回微分すると零になる関数たちと答えるのと、高々１次の関数と答えるのとはどちらがよいであろう？

　また「２次以下の項が零となる高々３次の関数」というのは「x を変数、a を勝手な定数としたとき f(ax)=a³f(x) が成り立つ関数」というのと同じこと（このような関数を与える式を３次斉次式と呼ぶ）で、どちらがよい表示なのかは場合による。

　では次の問題の答えは一つ、二つ？　いや一つも無いと言うべきか！？　これは無限集合の大きさについての問題である。　実数全体の集合 ℝ と有理数全体の集合 ℚ、どちらも無限集合だが、この「無限」の大きさは全く違う。実数直線に有理数を全部取って並べてみると、確かに無理数が抜けているとはいえ、至るところにくまなく有理数が分布している。このことを ℚ は ℝ の中で「稠密」に存在する、という。一方、整数全体 ℕ を実数直線に並べてみると、有理数に比べてぐっと少なく「ぽつぽつ」と、「離散的」に存在する。ところが ℕ と ℚ はどちらも無限集合として同じ大きさである。例えば正の有理数を既約分数として表し、分子と分母の和の小さい方から順番に番号を付けていくと、正の有理数と自然数（番号）の間に１対１の対応がついてしまう。ところが、実数全体にこのように番号を振ることはできない。実数の方がはるかに多いのである。 閉区間 [0,1] でも ℝ と同じ大きさになる。集合の大きさを示すには、しばしば ♯ という記号を使う。有限集合 A の場合、♯A は元の個数を表す。空集合 φ なら ♯φ=0 という次第。上で述べたことは、♯ℕ=♯ℚ＜♯ℝ と表せる。

　では ♯ℚ と ♯ℝ は隣り合った無限なのかそうでないのか？と問うてみよう。「隣り合っていない」ということは「♯ℚ＜♯X＜♯ℝ となる無限集合 X がある」ということに他ならない。この問題をこのように設定すれば（実は立場によるのだが）「答えがない」と答える数学者が多いであろう。一体どういうことか？

　現在標準的に現代数学に用いられている ZF または ZFC と呼ばれる公理系（議論の論理的枠組み）においては、この問題には決して答えられないこと、即ち、答えがどちらに転んだとしても公理系に矛盾が生じないことが証明されてしまった（Kurt Gödel 1940, Paul Cohen 1963）。２０世紀中葉に走った衝撃である。

　話が大分逸れた。証明問題などでは、一つの事実の証明法がしばしば幾つも存在するのはもとより明らかだが、数学の問題に答えが幾つあるのかと問うのは、問題の種類によっては意味をなさないし、普通は沢山あると思った方が良い。むしろ、一つの数学的対象を多くの異なる表現で記述できるということは、その対象が豊かであり、それを理解する数学（人間）が豊かに育っている、ということである。そこに数学の有機性、文化の豊かさがある。

２０世紀の数学の歩み

　２０世紀後半の頃から「１９世紀の数学は美しく豊かであった」と言われ始めた。１７世紀後半の微積分の発見のお蔭で、沈滞していた数学の発展が一気に加速し、最近の３５０年で大変な発展を遂げている。１９世紀までは現代から見れば論理の厳密性についてはかなりあやふやな部分もあったが、数学的対象に密着して理論を構築し、分野にひどく分かれず、少なくともリーダーであった一握りの大天才たちは正しく数学を展開した。

　２０世紀にはいると、「公理主義」が導入され、論理的厳密性が数学全般にしっかりと行き渡るようになるが、発展が多岐にわたり始めたこととも重なって、個々の分野での内部的な展開が目立つようになる。結果として、数学が多くの分野に分かれて有機性を失いながら発展しているように見える。特に、フランスではブルバキという数学者集団が現れ、現代数学の重要な成果は極力公理化・抽象化して安全に後世に残そう（数学原論）とし始めた。また、顕著な現象として、西側諸国の大学においては第２次世界大戦以降、それまで不可分であった数学と物理が別の学部・学科として枠組みを与えられるようになる。一方、ロシアでは数学と物理は西側ほどには分離されなかった。日本はと言えば、そのころ、西洋文化に必死に追いつけ（追い越せ）であったのだから、公理化・細分化の組を受け入れ、日本の数学全般としては各分野でなるべく早く最先端へたどり着こう、というのが自然な流れであったのだろう。

　西側文化の一員として我々がロシアとの差に気づかされるのは、２０世紀最後の４半世紀に入ってからだった。１９７０年代から８０年代にかけて筆者が受けた大学（院）での数学教育は、各分野に細分化され、抽象論が多いカリキュラムから成り立っていたと言わざるを得ない。このことは今も殆どの大学で根強く尾を引いている。勿論数学者個々によって学び方、教え方は千差万別である。同じ大学のほとんど同じカリキュラムで学んだ筈の筆者より７歳若い高倉樹氏（理工・数学の同僚）は、学生時代から既に、細分化・抽象化された数学からはハッキリと立ち直った有機的で美しい数学観を身に付けていた。

フランスで見たもの

　フランスでは大分前から前出のブルバキが始めたブルバキ・セミナーというのがあって、最近の数学の成果の中で著しいものを、本人ではなく別の数学者が紹介するのである。もう一つ、筆者は９０年代中ごろに滞在した Ecole Normale Supérieure de Lyon において、Rencontres Mathématiques という集会のシリーズが８０年代の終わりに始まった。こちらは１日半かけて決めたテーマを専門家以外の数学者や若手にも解説する集会である。どちらも日本には無い形のもので、聴衆には大変有難い集会である。何とフランス人たちは数学の有機性を育むためにこんなに努力を払っているではないか！

Lyon の Ecole Normale でみた学生たちも、みな古典的な解析力学をよく理解し、現代数学の重要な問題の源を自然に吸収・理解していることに気付かされた。正々堂々と抽象化して数学を残そうとする背景には、実は正反対に有機的で豊かな数学文化が彼らの背後に生きているからであったに違いない、というのが筆者なりの結論である。

ENCOUNTERwithMATHEMATICS

　９５年秋に帰国し、ブルバキ・セミナーと Rencontres Mathématiques を日本でも真似しようと考え、多くの方に相談してみた。ブルバキ・セミナーは残念ながらまだ日本では無理だろう、やるなら日本数学会が責任を持ってやるべきだ、一方、Rencontres Mathématiques は大変だけれど、できるかもしれない。ということになって９６年１１月から中大・理工・数学で毎年４回を目標に ENCOUNTERwithMATHEMATICS と称して始めた。テーマを決め、非専門のプロの数学者を聴衆に想定して講演を依頼する。必ず多くの専門家が聴衆として押し掛けて来るが、気にせずやってもらう。普段の講義、研究集会では聞けない、学問の大きな流れと明確な対象を見せてもらえるので、結果として専門の近い若手の大学院生たちにも有益な集会になっていると考えている。

　紙数も尽きたので、ｗｅｂページ http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/ をご覧いただいて、趣旨など更にご理解いただければ幸いです。

　本家の Lyon では、Rencontres を始めた Etienne Ghys 氏が活動を更に広げ、発展的解消という感じで Rencontres 自体は残念ながら終わってしまった。彼に世界のどこかで会うたびに、どうしたら他の人に受け継いでもらえるかを相談してたのだけれど、いつも答えは一緒「お前がやっていてうまくいっているなら、大変でも続けろ」。大学院生諸君や数学教室内外の協力を得て続けています。今月末から久しぶりの在外研究で、また Lyon に行ってきます。秋まで ENCOUNTERwithMATHEMATICS はお休みですが、９月からまたすぐ始めます。