１　ケプラーと正多面体

　私は星空を眺めるのが好きだ。現在（２０１５年６月下旬）は梅雨の時季だが、宵に晴れ間が訪れたならば、西空に輝く金星とその近くの木星がひときわ目を引くはずである。また東の空には、さそり座のアンタレスと並んで土星が輝いていることだろう。

　惑星の運動に関するケプラーの法則で有名なヨハネス・ケプラー（１５７１－１６３０）は、法則を発見するずっと前に興味深いある考察を発表している。当時惑星は、水星・金星・地球・火星・木星・土星の６つしか知られていなかった。一方、プラトンの頃から知られているように、正多面体は正４面体・正６面体・正８面体・正１２面体・正２０面体の５つに限る。

そしてケプラーは、太陽を中心とする６つの惑星の軌道が５つの正多面体と関係づけられると信じたのであった。まず土星の軌道を含むような球面（実際には厚みのある球殻）を考える。それに正６面体を内接させ、さらにその正６面体に内接する球殻をとる。これが木星の軌道を含むと考える。以下同様に、木星と火星の間に正４面体、火星と地球の間に正１２面体、地球と金星の間に正２０面体、金星と水星の間に正８面体を配置するのである（［１］，［２］）。

　このモデルは単にケプラーの幻想とされているようだが、宇宙の秩序を読み取ろうとする彼の強い願望が３法則の発見へとつながったことは確かだろう。正多角形は無数に存在するのに対して正多面体は５つしかないという事実には、ケプラーでなくとも何かしら神秘的なものを感じる。実は正多角形や正多面体は「ルート系」とよばれる数学的対象と深く関わっている（［３］）。ルート系は現代数学のいろいろな場面に現れ、本質的な役割を果たしている。

２　正多面体の変種とフラーレン

　正多面体の条件を少し弱めると、対称性は少なくなるものの、見た目に心地よい図形がいろいろ得られる。例えば正多面体の各頂点の近くを平面でうまく切り取ると、すべての面が正多角形になるようにできる。こうして得られる立体を切頭多面体（あるいは切頂多面体）とよぶ。例えば切頭４面体は、４個の正３角形と４個の正６角形を面にもつ。また切頭２０面体は、角張ったサッカーボールになる。

このように、面に異なる正多角形が混在するが各頂点の周りは同じ形をしている凸多面体を、準正多面体あるいは半正多面体とよぶ。アルキメデスが分類したとされているが、なんとケプラーが改めて分類している（［２］）。

　ところで、切頭２０面体（サッカーボール）は化学とも深い関わりを持つ。１９９０年代に話題となったフラーレンＣ_６０は、６０個の炭素原子が切頭２０面体の頂点に配置されている分子である。その存在を実証した３人の化学者にはノーベル賞が与えられた。文献［４］では、これらの炭素原子の結合の仕方（共鳴構造）が１２，５００通りあることが解説されている。

３　数え上げ問題と多面体

　図形の話は一旦脇に置いて、次のような問題を考えてみよう。

『ｄ個の正の整数ａ_１，…，ａ_ｄを与える。いま手元にａ_１円硬貨、ａ_２円硬貨、…、ａ_ｄ円硬貨が、それぞれ必要なだけ沢山あるとする。さてｎ＝１，２，３，… に対して、これらの硬貨を用いてｎ円を支払う方法は何通りあるか？』

例えば ｄ＝２， ａ_１＝１， ａ_２＝２ の場合、１円を支払う方法は１通り、２円を支払う方法は２通り（１円２枚か、２円１枚）、３円を支払う方法も２通り（１円３枚か、１円・２円を各１枚）等々である。数式を用いると、０以上の整数の列（ｍ_１，…，ｍ_ｄ）で

　ａ_１ｍ_１＋ａ_２ｍ_２＋…＋ａ_ｄｍ_ｄ＝ｎ

をみたすものが何通りあるかを考えることになる。実は、この問題にきちんと答えることは意外に難しい。ｄ＝２，３，４の場合に答がどうなるかについては、文献［５］を参照のこと。

　次に、図形的な意味を考えてみる。０以上の実数の列（ｘ_１，…，ｘ_ｄ）で

　ａ_１ｘ_１＋ａ_２ｘ_２＋…＋ａ_ｄｘ_ｄ＝ｎ

をみたすもの全体は、（ｄ－１）次元の多面体を定める。例えばｄ＝１のときは点、ｄ＝２のときは線分、ｄ＝３のときは３角形、ｄ＝４のときは４面体になる。すると上の問題は

『この多面体内に整数点（座標がすべて整数であるような点）がいくつあるか？』

と言い換えられる。（下はｄ＝３， ａ_１＝１， ａ_２＝２， ａ_３＝３， ｎ＝６のときの図で、整数点は７個ある。）

このように、数え上げの問題に高次元の多面体が自然に現れるのである。また設定をより一般にすると、いくらでも複雑な多面体が現れる。このような観点からも多面体は活発に研究されている（［５］）。さらにそれは、現代の幾何学で対象とされる（多面体とは別の）ある種の空間の構造を調べるのに重要な役割を果たす。なお、ここでもやはりルート系が関わってくる。

４　佐武一郎先生のこと

　第２節で佐武一郎先生のフラーレンに関する連載［４］を参考文献として挙げた。理系の方ならば、先生の名は著書「線型代数学（裳華房）」を通してお馴染みかもしれない。上で何度か述べたルート系に関する業績も有名である。先生はカリフォルニア大学・東北大学の名誉教授であり、１９９１年度から１９９７年度は中央大学理工学部で教鞭をとられた。中央大学を退職された後もたびたび数学教室においでになり、［４］や他の著書を執筆されていた。合間にいろいろと面白い話を聞かせていただいたものである。その佐武先生が昨年１０月に亡くなられた。先生の足跡の偉大さとお人柄の暖かさを改めて感じる今日この頃である。合掌。

髙倉　樹（たかくら・たつる）／中央大学理工学部教授
専門分野　幾何学・位相幾何学

富山県出身。
１９６４年生まれ。
１９８７年東京大学理学部卒業。
１９８９年東京大学大学院理学系研究科修士課程修了。
１９９４年東京大学大学院数理科学研究科博士課程修了。
博士（数理科学）、東京大学。

福岡大学理学部助手・中央大学理工学部専任講師・助教授・准教授を経て２０１４年より現職。
現在の研究課題は、群の作用するシンプレクティック多様体とその商空間の位相幾何学、およびそれに関連する凸多面体の幾何と組合せ論である。